作者：Bird
上一回【Maker電子學】淺談高頻系統的原理與設計—PART20：史密斯圖(6)，我們看了在 online Smith Chart 中，當 frequency span 不爲 0 時，計算出來的終點會有什麼變化。我們也介紹了 S11 參數，並看了之前算出來的兩組解，它們的 S11 參數在不同頻率之間的差異。
這一回我們會繼續介紹設計阻抗匹配電路時，零件數值與匹配結果之間的關係。
電容與電感 #
我們前兩回設計了兩組解，將特性阻抗爲 39+6j 的一個黑盒子匹配到 50 ohm 的目標阻抗。第一組解是先串聯 2.4 pF、再並聯 6 nH 電感；第二組解則是先串聯 0.9 nH 的電感、再並聯 0.7 pF 的電容。
（圖片來源：Bird 提供）
上一回我們用 Online Smith Chart 模擬兩組解在整個 2400 MHz – 2500 MHz 頻段中的表現時，發現第一組解的最佳工作點，也就是最匹配時的 S11 參數大概在 -56 dB，比第二組解的 -37 dB 要好，但是第一組解在整個頻段中的均勻度並不好，最差和最好的地方相差了 15 dB 左右，而第二組解在整個頻段中的均勻度則相對平坦，整體的差距在 1 dB 以內。
會造成這樣差距的原因有很多，但是其中一個很重要的因素是零件的數值大小。
由於電感和電容的電抗都是頻率的參數：
XL = j 2 𝝅 f L
Xc = 1 /（j 2 𝝅 f C）
在零件數值不變的狀況下，頻率越高，感抗越大、容抗越小，而由於容抗和感抗都是經由零件數值與頻率相乘計算出來的，在同樣的頻率變化範圍下，電感的數值越大，感抗的變化量就越大，而電容的數值越大，容抗的變化量也就越小（因爲容抗的 C 項在分母）。
因此我們可以預期，在頻率從 2400 MHz 變化到 2500 MHz 這樣的範圍中，一個 10 nH 電感的感抗變化量，一定比一個 1 nH 電感的容抗變化量要大。
但事情比這個再稍微複雜一點，因爲我們使用電感和電容來做阻抗匹配時，有串聯和並聯兩種接法。
串聯電路 #
我們先來看串聯。爲了讓 Smith Chart 上 frequency span 造成的效果比較明顯易讀，我們將中心頻率設爲 3 GHz，span 設爲 +/- 1 GHz。
然後我們直接在 50 ohm 的 source 上串聯一個 10 nH 的電感，看看阻抗會偏移到哪裡：
（圖片來源：Bird 提供）
黑色線段尾端的紅色線段，就是在整個 3 GHz +/- 1 GHz 的頻段中，10 nH 電感所造成的最終阻抗，而紅色線段中間的黑色圓點就是中心頻率 3 GHz 時的特性阻抗。由於 Smith Chart 中的刻度不是線性的，所以中心頻率的阻抗並不會位在紅色線段的正中間。
現在我們將電感改成 1 nH，看看阻抗變成什麼樣子：
（圖片來源：Bird 提供）
可以看到當串聯電感變成原來的十分之一時，紅色線段的長度也變得比較短了。前面說過，Smith Chart 的刻度不是線性的，所以不能直接比較圖上的距離，而要看刻度。
我們放的這兩個電感，都會讓阻抗沿著 50 ohm 的等電阻圓移動，它們造成的是電抗部分的改變，因此我們可以看 Smith Chart 中的橘色刻度來判斷各點的電抗。10 nH 電感在 3 GHz +/- 1 GHz 頻寬中造成的電抗改變大概是 120 j 到 250 j，變化量有 130 j，而 1 nH 電感在這個頻寬中造成的電抗改變則大概從 12 j 到 25 j，變化量約 13 j（因爲電抗的公式是線性的，這個結果是可以預期的）。
現在我們來看串聯電容。我們用一樣的頻率範圍設定，比較串聯 1 pF 和 10 pF 電容所造成的結果：
（圖片來源：Bird 提供）
（圖片來源：Bird 提供）
由於容抗是負的，串聯電容會讓電抗減少，因此曲線會往 Smith Chart 的下方走。比較這兩張圖，我們會發現，串聯電容時，在同樣的頻率變化範圍內，較大的電容反而會造成較小的變化量。這也是可以預期的，因爲電容的電抗公式中，C 項在分母。
那麼並聯呢？
並聯電路 #
我們直接來模擬看看好了。我們用同樣的頻率範圍，分別放置 1 nH 跟 10 nH 的並聯電感，看看最後的線條會變成什麼樣子：
（圖片來源：Bird 提供）
（圖片來源：Bird 提供）
由於並聯電路的電阻和電抗都要取倒數後相加再取倒數，很難計算，所以我們之前在手動計算時介紹過，並聯電路都會轉換到導納的領域來計算。串聯是阻抗相加，並聯就是導納相加，因此當我們在電路中並聯電感時，圖中的特性阻抗會沿著等電導圓移動，我們從 50 ohm 的標準特性阻抗出發，而 50 ohm 換算成電導就是 0.02 Siemens：
1 / 50（ohm）= 0.02（Siemens）
所以當我們並聯電感時，上圖中的曲線會從 0.02 + 0j Siemens 的點出發，沿著 0.02 Siemens 的等電導圓向上移動。
我們發現，在同樣頻率變動範圍中，並聯 10 nH 電感所造成的阻抗變化，比並聯 1 nH 電感要小，這結果似乎跟串聯電感時相反。
這是因爲並聯時，我們計算的是導納，而導納是阻抗的倒數；換句話說，本來電感在串聯時造成的變化量在分子，在並聯時跑到了分母，因此電感越大、電納反而越小，所以這個結果是可以預期的，也符合邏輯的。
那並聯電容呢？聰明的讀者一定猜到了，電容的電納是電抗的倒數，而電容的電抗公式中 C 項在分母，再經過一次倒數計算後 C 項就跑到了分子。電容和電感的電納公式是這樣（這個式子超少見到，所以還是讓它曝光一下好了…）
BC = j 2 𝝅 f C
BL = 1 /（ j 2 𝝅 f L）
所以我們可以預期，在同樣頻率變動範圍中，並聯 10 pF 電容所造成的阻抗變化，要比並聯 1 pF 所造成的阻抗變化要大，至於 Smith Chart 上的線段，就留給讀者們自己去畫畫看了。
綜合以上四種組合的嘗試：串聯電感、串聯電容、並聯電感、並聯電容，我們可以得到一個結論：在同樣的頻率範圍變化下，串聯電感越小、串聯電容越大，所造成的阻抗變化量就越小；並聯電感越大，並聯電容越小，所造成的導納變化量就越小。
知道這個關係後，我們在尋找阻抗匹配的解時，就可以比較了解零件數值的大小對最終結果的偏移量所造成的影響。
如果我們設計的電路只針對單一頻率，那也許不管零件數值的大小，各種解可能都可以匹配到目標阻抗，但現今的無線電系統通常都有一定的頻寬，如何在整個工作頻段內維持整個阻抗匹配電路都有效的工作，才是設計上真正挑戰的地方。
小結 #
這一回我們利用 Smith Chart 上 frequency span 的功能，模擬了不同零件數值大小對匹配結果的偏移量所造成的影響。串聯電路比較直覺，而並聯電路由於需要轉換到導納領域計算，稍微沒有那麼直覺，但結果仍然具有數學上的對稱性，可以理解。
下一回我們要繼續研究，當零件的數值決定後，如何選擇實體的電容、電感元件。這些元件除了電容量、電感量之外，還有哪些特性需要考慮的。
（責任編輯：賴佩萱）
