作者：Bird
上一回【Maker電子學】淺談高頻系統的原理與設計—PART16：史密斯圖(2)，我們介紹了與電阻與電抗相反的、在顛倒世界中的「電導」與「電納」物理量，並說明了利用電導與電納畫出來的 admittance Smith Chart，以及它與原版 Smith Chart 之間的關係。
這一回，我們要來看看阻抗匹配電路在 Smith Chart 上形成的路徑，讓我們更接近阻抗匹配。
在史密斯圖上移動 #
我們上次提過，Smith Chart 上的點，都代表一個特性阻抗，圓心則代表我們的目標阻抗。在做阻抗匹配計算時，其實就是設法在圖上移動，讓電路的阻抗儘可能地接近圓心。
假設我們現在有一個 RF 晶片的輸出接腳，特性阻抗是 Z = 0.78 + j0.72，我們想加上一些像前兩回提到的那些神祕電路，讓它的特性阻抗變成 Z = 1 + 0j，該怎麼做呢？
（圖片來源：Bird 提供）
如果在 Smith Chart 上把 Z = 0.78 + j0.72 這個點畫出來，我們可以看到它距離目標阻抗的距離：
（圖片來源：Bird 提供）
現在的問題就是，要加上什麼零件，讓它朝著目標阻抗前進，直到到達目標阻抗呢？
一般來說，我們會用電感、電容來調整電路的阻抗，而不會用電阻。
電阻當然也可以改變電路的阻抗，但因爲電阻會消耗能量，而且它只能改變實部的阻抗，所以我們不會用電阻來進行阻抗匹配，而電感和電容由於是儲能元件，理想上它們會把吃進去的能量原封不動地吐回來（現實上還是會有一點點點點的損耗），又可以改變電壓與電流之間的相位關係，調整虛部阻抗，因此很適合拿來做阻抗匹配。
電阻和電容各有串聯、並聯兩種接法，排列組合之後，就有四種電路：
- 串聯電感
- 串聯電容
- 並聯電感
- 並聯電容
（圖片來源：Bird 提供）
這四種電路在 Smith Chart 上各有不同的效果，巧妙運用這些電路，我們就可以自由自在地在 Smith Chart 上移動。
Smith Chart 是一張扭曲過的直角座標圖，圖中的實部座標是一個個大小不同的圓，全部相切與圖的最右邊那一點；而虛部座標則是與這些圓相交、在各點都垂直的另一組圓（雖然在圖中沒辦法將它們整個圓都畫出來，只能畫出一部分的弧線）。
每一個實部座標的圓，都對應到一個阻抗的實部數值，至於是多少，圖中會寫在靠近水平軸的位置，方便查閱。因爲每個圓都是一個實部座標，所以同一個圓上每一個點的實部阻抗都是一樣的，而虛部阻抗則各異，至於圓上的虛部阻抗是多少，就要查閱它與哪一條虛部阻抗座標的圓弧相交。
（圖片來源：Bird 提供）
當我們在電路中串聯電感或電容時，會改變虛部阻抗。串聯電感時，會讓虛部阻抗變大；串聯電容時，會讓虛部阻抗變小，但不管串什麼電容或電感，實部的阻抗都不會改變。
（圖片來源：Bird 提供）
因此，當我們串聯電容電感時，阻抗就會在 Smith Chart 上沿著同一個實部座標圓移動。串聯電感會讓虛部阻抗變大，因此會沿著實部座標圓順時針移動；串聯電容會讓虛部阻抗變小，因此會沿著實部座標圓逆時針移動。
那並聯呢？
阻抗的並聯在計算上是很麻煩的事，要取倒數之後相加再取倒數，光想就覺得頭皮發麻。
這時候就輪到我們上一回介紹的顛倒世界：「導納」上場了。在導納的世界中，並聯就是電導或電納相加。加法嘛，有什麼難的。
（圖片來源：Bird 提供）
在表示導納世界的 admittance Smith Chart 中，一樣有表示電導的圓圈圈，以及與之相交、表示電納的弧線。跟在阻抗世界中的原理一樣，同一個電導座標圓上各點的電導都是一樣的，而由於並聯電感和電容並不會改變實部導納中的電導，所以當我們並聯電感或電容時，導納會沿著圖中的等電導座標圓上下移動。
並聯電感時，電納會增加，因此阻抗點會沿著等電導圓逆時針移動；並聯電容時，電納會減少，因此阻抗點會沿着等電導圓順時針移動。
如果要同時使用並聯與串聯的電路，我們需要同時計算阻抗與導納。這時上次介紹的 Z-Y Smith Chart 就派上用場了。
（圖片來源：Bird 提供）
在阻抗與導納座標二合一的 Z-Y Smith Chart 上，我們可以很輕易地計算並聯與串聯的電路。
（圖片來源：Bird 提供）
假設我們有一個訊號源，它的輸出特性阻抗是 Zs，這時我們可以將 Zs 的阻抗在 Y-Z Smith Chart 上畫出來。
接下來我們要用電路去改變這一點的阻抗。如果加個串聯電感，特性阻抗就會從 Zs 開始，沿著阻抗圓順時針移動；如果加個串聯電容，特性阻抗就會從 Zs 開始，沿著阻抗圓逆時針移動；如果加個並聯電容感，特性阻抗就會總 Zs 開始，沿著導納圓逆時針移動；如果加個並聯電容，特性阻抗就會從 Zs 開始，沿著導納圓逆時針移動。
現在我們知道如何用串聯並聯電感電容，在 Smith Chart 上隨意地移動了，理論上我們就可以將任何阻抗透過匹配電路調整到任何我們想要的阻抗，當然，通常是調到圓心。
定量計算 #
不過到目前爲止，我們只說明了移動的方向和軌跡，還沒講到要移動多遠。
我們以串聯電感爲例。假設我們現在有個訊號源，它的特性阻抗 Zs = 25 + 25j，用 50 ohm 正規化之後會變成 0.5 + 0.5j。在 Z-Y Smith Chart 上可以找到它的位置：
（圖片來源：Bird 提供）
記得不要看錯座標軸。在阻抗與導納都有餓 Z-Y Smith Chart 上，通常會用不同顏色代表阻抗與導納的座標，以上圖爲例，如果要看阻抗的座標，就要看紅色的線條與數字。
如果我們在這個訊號源上串聯一個 1 nH 的電感，特性阻抗會變成多少呢？根據前面的討論，我們已經知道串聯電感會讓阻抗沿著等電阻圓往順時針方向移動，但要移動多遠呢？
要知道移動多遠，我們還缺少一個關鍵資訊：頻率。
複習一下電感的電抗公式：XL = 2𝝅fL j
想起來了嗎？感抗與頻率有關，對於相同的電感來說，頻率越高、感抗越大。假設我們系統的頻率是 2 GHz，那麼 1 nH 電感在這個頻率下的電抗就是：
XL = 2𝝅fL j = 2 * 3.14 * 2 * 10^9 * 1 * 10^-9 * j = 12.56j（ohm）
由於我們是以 50 ohm 當做正規阻抗，將 12.56 j 這個電抗正規化之後就是：12.56j / 50 = 0.2512j
於是我們就知道了！這個電感在這個頻率下造成的正規化電抗是 0.2512 j，這時在 Z-Y Smith Chart 上，我們就要將特性阻抗點從 Zs 開始，沿著實部阻抗等於 0.5 的那個等電阻圓，順時鐘移動 0.25 的電抗。由於原來阻抗的虛部是 0.5 j，這樣移動之後，就會抵達電抗爲 0.5 j + 0.2512 j = 0.7512 j 的位置。
（圖片來源：Bird 提供）
這裡有一個很重要的關鍵：電抗與頻率有關。因此在 Smith Chart 上計算電感與電容對阻抗造成的影響時，我們需要知道頻率，而對於並聯電路來說，電納也與頻率有關，因此不管是在阻抗的世界還是在導納的世界，我們都需要知道頻率才能做阻抗匹配的計算。
小結 #
這一回我們說明了用來阻抗匹配的四種電路：串並聯電感與電容，以及它們各自在 Smith Chart 上面對阻抗點造成的影響，我們最後也說明了定量的計算方法，以及頻率在整個計算中的關鍵角色。
由於手工在 Smith Chart 上計算時，往往不是很容易看清楚刻度，下一回我們要帶大家利用一些線上的 Smith Chart 計算工具，來計算一些實際的案例。
（責任編輯：賴佩萱）
