作者：Bird
上一回 【Maker電子學】淺談高頻系統的原理與設計 — PART15：史密斯圖(1)，我們介紹了高頻電路設計中很重要的史密斯圖 Smith Chart，並說明了在圖上標註特定的特性阻抗的方式，以及它的物理意義。
這一回我們要來看看，如何利用史密斯圖估算元件數值，來設計阻抗匹配的電路。
在史密斯圖上移動 #
Smith Chart 上的點，都代表一個特性阻抗。我們說明 Smith Chart 時，使用的是經過「正規化」（normalized）的版本，因此不管你是用來計算特性阻抗 50 ohm 的 RF 系統、75 ohm 的有線電視系統，抑或是 45 ohm 的 USB 系統，都可以用同一張 Smith Chart。
圖的圓心代表的正規化特性阻抗是 Z = 1+j0，也就是我們的目標特性阻抗；純電阻、沒有感抗或容抗，是最匹配的阻抗。圖中的點離圓心的距離，就是反射係數：離開圓心越遠，反射係數越大、阻抗越不匹配；離圓心越近，反射係數越小，阻抗越匹配。
假設我們現在有一個 RF 晶片的輸出接腳，特性阻抗是 Z = 0.78 + j0.72，我們想加上一些像前兩回提到的那些神祕的電路，讓它的特性阻抗變成 Z = 1 + 0j，該怎麼做呢？
（圖片來源：Bird 提供）
如果在 Smith Chart 上把 Z = 0.78 + j0.72 這個點畫出來，我們可以看到它距離目標阻抗的距離：
（圖片來源：Bird 提供）
現在的問題就是，要加上什麼零件，讓它朝著目標阻抗前進，直到到達目標阻抗呢？
顛倒世界 #
在說明使用 Smith Chart 來計算所需的零件之前，有個觀念要先介紹：導與抗。
我們之前在介紹特性阻抗時，所使用的物理量是電阻和電抗：電阻是計算式中的實部，由純電阻所產生，只會是正的；電抗是計算式中的虛部，由電感或電容產生，它可以是正的（電感性）、也可以是負的（電容性）。
電阻與電抗的物理量代表的都是對於能量傳遞的「阻礙」，因此這兩個物理量越大，對於能量傳遞的阻擋力量就越大。
如果我們定義一個反過來的物理量呢？比方說，我們定義一個物理量，它的意義是對於能量傳遞的「通過能力」。這個物理量越大，就代表讓能量通過的能力越好；越小，就代表讓能量通過的能力越差，也就是阻力越大。
在基本電學的世界，還真的有這樣的物理量，只是我們很少用到而已。它們就有點像電阻與電抗在另一個世界的孿生兄弟：電阻在顛倒世界裡的物理量叫做「電導」（conductance），它的定義就是電阻的倒數，慣用符號是 G：
電導 conductance G = 1 / R
而電抗在顛倒世界裡的物理量叫做「電納」（susceptance），它的定義就是電抗的倒數，慣用符號是 B：
電納 susceptance B = 1 / X
至於電阻與電抗加起來的阻抗，也有相反世界中的版本，它就叫「導納」（很合理的名字吧…），定義是阻抗的倒數，慣用符號是 Y：
導納 admittance Y = 1 / Z
整理一下：
（圖片來源：Bird 提供）
電導及電納的單位是「西門子」，這個單位是爲了紀念德國電學家 Ernst Werner von Siemens（1816-1892）。在 1971 年國際度量衡局正式承認爲電導及電納的標準單位之前，慣用的單位是「姆歐」（mho），這個字就是把歐姆的英文拼法倒過來，而如果要寫希臘字母的話，就是把歐姆慣用的 Ω 這個字母上下倒過來（但其實 24 個希臘字母中並沒有這一個）。
爲什麼要另外定義電導及電納這樣的物理量呢？其實主要跟計算的方便性有關。
我們知道，電阻串聯時，就將串聯的電阻值加起來就好了：R = R1 + R2
（圖片來源：Bird 提供）
但並聯時就麻煩了，得要將兩個電阻各取倒數，相加之後，再取倒數：R = 1 / （（ 1 / R1）+（1 / R2））
（圖片來源：Bird 提供）
我們將上面那個式子整理一下，把左邊的 R 也取倒數，就變成：1 / R =（1 / R1）+（1 / R2）
電阻的倒數不就是電導嗎？把 G = 1 / R 代入上面那個式子，就變成：G = G1 + G2
看起來是不是舒服多了？這就是電導與電納在計算式中爲我們帶來的方便性：串聯的結果就是電路中所有的電阻與電抗相加；並聯的結果就是電路中所有的電導與電納相加。
Smith Chart 的顛倒世界 #
既然 Smith Chart 是用來計算阻抗的，它一定也有顛倒世界的版本，可以用來計算電導與電納。沒錯，在顛倒世界中的 Smith Chart 長這個樣子：
（圖片來源：Bird 提供）
乍看之下這張 Smith Chart 和我們原來用的 Smith Chart 沒什麼不同，但再仔細看，它是個左右相反的版本。原來那張 Smith Chart 密密麻麻的小圓圈是在圖的右半部，現在則到了左半部。
這張圖叫做 admittance Smith Chart，也就是導納版本的 Smith Chart。它的圓心一樣是 G = 1 + j0 的正規化目標阻抗，圖的上半部是電納爲正的電感性電納，而圖的下半部是電納爲負的電容性電納，圖中間的水平軸也是電納爲 0 的純電導位置；越往右去，電導越小（所以電阻就越大），直到圖的最右側，就是開路，也就是電導爲 0 的位置。
Admittance Smart chart 圖上的物理量位置和原來的 Smitch Chart 其實是一樣的，都是上半部是電感、下半部是電容；往右電阻大、往左電阻小，因此兩張圖其實可以重疊在一起畫，變成這個樣子：
（圖片來源：Bird 提供）
這張圖叫做「Impedance and Admittance Smith Chart」，有時候也叫做「YZ Smith Chart」，因爲導納的符號是 Y、阻抗的符號是 Z。
由於阻抗與導納的兩張 Smith Chart 是完全重合的，想知道圖上的一個點代表的阻抗，只需要根據這個點的位置，查閱阻抗那張圖的軸線就可以得知，而如果想知道同一個點所代表的導納，只需要查閱導納圖的軸線就可以了（重疊的 Impedance and Admittance Smith Chart 讓我們可以方便地在阻抗與導納之間做轉換，這一點對於我們接下來的計算非常重要）。
設計阻抗匹配電路時，會用到電感與電容兩種元件、並聯與串聯兩種接法，排列組合之後，就會有四種電路：並聯電感、並聯電容、串聯電感、串聯電容。這四種電路在 Impedance and Admittance Smith Chart 上，各有各的路徑，巧妙的搭配這些元件和電路所造出來的路徑，就可以完成阻抗匹配的工作。
小結 #
這一回，我們介紹了與電阻與電抗相反的、在顛倒世界中的「電導」與「電納」物理量，並說明了利用電導與電納畫出來的 admittance Smith Chart，以及它與原版 Smith Chart之間的關係。
下一回，我們繼續介紹阻抗匹配電路在 Smith Chart 上形成的路徑，讓我們更接近阻抗匹配。
（責任編輯：賴佩萱）
