作者：Bird
上一回【Maker電子學】淺談高頻系統的原理與設計—PART14 中，我們說明了 RF 電路要匹配的目標阻抗，也看了一個實際的電路範例，電路中有三個神祕的電感、電容等零件，可以將 RF IC 的輸出匹配到目標阻抗。
這一回開始我們要介紹一些可以用來分析、理解特性阻抗的數學工具，以及說明如何用這些數學工具來設計匹配網路、尋找匹配網路中這些零件的數值。
史密斯圖 #
即使我們現在已經有許多非常方便的計算工具或模擬工具，可以用來設計 RF 電路，但講到 RF 電路的阻抗匹配，仍然不得不提到史密斯圖（Smith Chart）這個劃時代的偉大發明。
（圖片來源：Bird 提供）
上面這張圓形的圖就是 Smitch Chart，它是美國 RCA 公司的工程師 Philip Hagar Smith 在 1939 年發明的計算工具，但無獨有偶，日本無線電信公司的工程師水橋東作（Mizuhashi Tosaku）在 1937 年發表的一篇論文《四端子電路的阻抗轉換與匹配》中，也提到了完全一樣的圖表，用來做阻抗的計算與轉換，因此在英語世界中雖然普遍稱這張圖爲 Smith Chart，但日本認爲既然水橋東作的論文比 Philip Smitch 早兩年，這張圖應該叫做 Mizuhashi Chart，或至少叫做 Mizuhashi-Smith Chart。
Smith Chart 是一種圖形計算工具，它有點像對數計算尺一樣，利用圖形之間的簡單幾何相對關係來完成複雜的數學計算，因此原始的 Smith Chart 非常細緻，上面密密麻麻的都是線條和數字，當你用這種圖來做計算時，圖本身的密度決定了你可以計算的精度。
不過現在我們多半不會直接用 Smith Chart 上的線條和數字來做計算，它只是當作一種概念性的參考，實際的計算可以由輔助工具來達成，因此在許多線上的 Smith Chart 計算工具中，會看到這種比較稀疏的 Smith Chart：
（圖片來源：Bird 提供）
這些計算工具所畫的 Smith Chart 並不會把線畫得太密，而只會畫出主要幾個參考的座標，剩下的線則會在計算過程中，根據計算的需求產生。
怎麼看圖？ #
Smith Chart 是一個用來表示及轉換複數阻抗的工具，圖上的每一點都表示一個複數阻抗。一般我們常用的 Smith Chart 是所謂的正規化（normalized）阻抗版本，也就是把目標特性阻抗當作 1，這樣不管是 75 ohm 還是 50 ohm 的系統，都可以用同一張 Smith Chart 來計算。
阻抗的正規化其實很簡單，就是把阻抗除以目標特性阻抗：
ZNormalized= Z /Z0
舉例來說，我們上次提過的， ESP8266 的晶片 RF 輸出阻抗 39+j6 ohm，正規化之後就是：
ZNormalized= Z /Z0 = (39+j6) / 50 = 0.78 + j0.12
仔細觀察 Smith Chart，會發現上面有兩種圓圈：
（圖片來源：Bird 提供）
上圖中紅色的圓圈叫「實部圓」，它用來表示特性阻抗中的實部，也就是電阻的部分，而藍色的圓圈叫做「虛部圓」，它用來表示特性阻抗中的虛部，也就是電抗的部分。虛部圓看起來不是圓圈，因爲在 Smith Chart 中它有一大半跑到圖的外面去了，不過它出現在 Smith Chart 中的線段仍然是正圓的一部分。
基於巧妙的幾何排列，Smith Chart 圖中的實部圓和虛部圓在圖中的任一點都是垂直相交的，圖中每一個點都表示一個特性阻抗。
舉例來說，我們要在圖中表示剛剛經過正規化計算的那個租阻抗 0.78 + j0.12，可以這麼做：
（圖片來源：Bird 提供）
先找到代表 0.78 的實部圓，再找到代表 j0.12 的虛部圓，兩者相交的那個點，就是 Smith Chart 中代表 0.78 + j0.12 的點。
實部的刻度在圖中的水平線上，虛部的刻度在圖中外圈的圓上：
（圖片來源：Bird 提供）
只要分別對照實部軸上的刻度和虛部軸上的刻度，找到各自對應的圓（或弧），再找到兩個圓弧的交點，就是代表那個特性阻抗的點了。
由於電抗可以是正的也可以是負的（正的是感抗，負的是容抗），所以虛部的刻度也分成兩部分。Smith Chart 的虛部刻度上半部是正的電抗，也就是電感性的電抗；下半部則是負的電抗，也就是電容性的電抗；在畫面中間的橫軸，代表電抗爲 0，也就是純電阻的阻抗。
查詢電抗刻度時，可以從圖的最左邊開始，那一點的電抗是 0，如果電抗項是正的，就往上走；電抗項是負的，就往下走，沿著外圈往圖的右變走，電抗會越來越大。
至於實部阻抗，由於電阻不可能是負的，所以實部的刻度只有正的。實部的刻度也是從圖的左邊開始查，實部刻度線的最左邊是 0，代表電阻爲 0，也就是短路，刻度越往右越大，直到刻度軸的最右邊是無限大，代表電阻爲無限大，也就是開路。
而整張 Smith Chart 的圓心，則是電阻爲 1，電抗爲 0 的點，寫成阻抗的形式就是 ZNormalized = 1 + j0。它其實就是我們的目標阻抗。
反射係數 #
我們已經討論過很多次，在傳輸線系統中，如果阻抗匹配，訊號就可以完美地從發射端傳送到接收端；如果阻抗不匹配，訊號就會發生反射，而反射幅度的大小則和阻抗的差異有關，在 Smith Chart 上可以很容易地看出這個特性。
（圖片來源：Bird 提供）
Smith Chart 的圓心是目標特性阻抗，因此當訊號的阻抗位置在圓心時，就不會發生反射；當訊號的阻抗不在圓心時，就會發生反射。我們之前定義過，所謂的反射係數，就是反射訊號的與入射訊號之間的電壓比值，而在 Smith Chart 上，距離圓心的距離，就是反射係數；最外圈的反射係數爲 1，代表訊號發生全反射，也就是反射訊號的電壓大小和入射訊號一樣。
小結 #
這一回我們介紹了高頻電路設計中很重要的史密斯圖 Smith Chart，並說明了在圖上標註特定特性阻抗的方式，以及它的物理意義。
下一回我們要來看看，如何利用史密斯圖估算元件數值，來設計阻抗匹配的電路。
（責任編輯：賴佩萱）
