作者：Bird
上一回【Maker電子學】淺談高頻系統的原理與設計—PART10，我們說明了傳輸線理論中「駐波」的形成、介紹 SWR 駐波比和 VSWR 電壓駐波比的觀念，以及 VSWR 與傳輸時功率損耗之間的關係。這一次我們要來看一下 PCB 上的傳輸線。
多變的傳輸線 #
我們在一開始講高頻訊號的時候說過，之所以需要用傳輸線理論來看待線路的理由，是因為訊號的頻率很高、波長很短。
（圖片來源：Bird 提供）
當訊號的波長小於線路的長度時，因為訊號相位變化的速度比訊號在線路上傳遞的速度快，我們就可以在線路上的不同位置測量到不同的訊號相位。這時，這段線路就不能單純地用一般導體來看待，而需要用傳輸線理論來伺候。
現實生活中常見的傳輸線如有線電視電纜、網路線、USB 線等，都是特別針對要傳輸的訊號設計的線材，以符合訊號的特性阻抗。傳輸線的特性阻抗如果與發射器或接收器的特性阻抗不符，就會在阻抗變化處造成反射，形成駐波，浪費能量也破壞訊號的完整性。
以有線電視電纜為例，有線電視訊號的特性阻抗標準是 75 ohm，因此在整個系統中，從發射器、放大器、分配器、連接器，一直到你家的電視上面機上盒的接頭，一路都是 75 ohm 的特性阻抗，那個黑色的電纜本身也是設計成 75 ohm 的特性阻抗。
一個傳輸線的特性阻抗由很多因素決定，包括導體的粗細、絕緣層的材料、厚度、形狀，導體之間的相對位置等，而要妥善控制一個傳輸線的特性阻抗保持不變，就要控制它的截面在各個位置都維持一致。
不過掛在外面電線桿上的有線電視電纜看起來就比接進你家裡機上盒的電纜要粗上許多，它們的截面顯然不一樣，難道特性阻抗也相同？沒錯，其實設計一個傳輸線在特定的特性阻抗下的截面並不是唯一解，因為導體的粗細、絕緣層的材料、厚度、形狀等決定傳輸線特性阻抗的變因很多，你可以設定幾個要控制的項，再根據數學模型解出其它項，就可以得到你要的傳輸線截面設計。
因此同樣是 75 ohm 的傳輸線，你可以為了要讓它在戶外吹風淋雨而設計成直徑半吋的粗壯電纜，也可以為了室內走線方便而設計成直徑四分之一吋甚至更細的電纜。
另外就是外型看起來幾乎一樣的兩種電纜，也有可能因為內部設計的些微差異而有不同的特性阻抗。有線電視常用的 RG-59A/U 電纜，它的特性阻抗是 75 ohm，但外型差不多的 RG-58A/U 電纜，它的特性阻抗則是 50 ohm，兩者不可混用。
平面上傳輸線 #
當訊號的頻率越來越高、波長越來越短，在 PCB 上，我們也會有傳輸線的需求。從 Wi-Fi 晶片的天線接腳，到焊在 PCB 上的天線連接器這一段路，會需要傳輸線設計，否則如果這段線路的特性阻抗跟 Wi-Fi 晶片出來的訊號特性阻抗不匹配的話，訊號就會大量反射回 Wi-Fi 晶片內部而發射不出去。
但平面的 PCB 上要怎麼做傳輸線呢？其實 PCB 並不是一個完全平面的結構，就算是單面的 PCB，它至少也是由一層銅箔和一層基材構成的：
（圖片來源：Bird 提供）
銅箔就是銅，而且是純銅，不是其它的合金銅，但下面的基材就很多變了：現在一般用途的電路板，最常用的基材是一種叫 FR-4 的玻璃纖維與環氧樹脂複合材料，而一些低價的電路板則可能會用 FR-1 或 FR-2 的酚醛樹脂與紙複合材料，又叫做電木板。
這層基材是絕緣材料，但是它的特性卻對我們要在上面設計的傳輸線有很大的影響。
由於現在的 PCB 可以輕易做出多層的結構，我們可以利用這樣的結構來設計傳輸線。一個很典型的例子是這樣的設計：
（圖片來源：Bird 提供）
在一片至少有三層導體層的電路板上，我們可以用外層的兩層銅箔模擬傳輸線外層包覆的導體，再用內層的銅箔做出傳輸線的中心導體。
一般我們在設計傳輸線時，都會將外圍包覆的導體當作訊號的參考電位，也就是地電位，而中心的導體就是訊號本人。
這樣的傳輸線有個名字，叫做「帶狀線」（stripline）。它雖然不像電纜的傳輸線可以用導體將中心訊號線完全包覆起來，至少上下都有包覆，因此在中心傳輸的高頻訊號不會從 PCB 的表面輻射出來，但缺點就是至少需要三層的導體層才能做出這樣的傳輸線結構。
有沒有辦法只用兩層導體就在 PCB 上做出傳輸線呢？有，而且還有兩種。
（圖片來源：Bird 提供）
「波導」這個詞是從微波工程來的，它本來是一種管狀的結構，用來約束電磁波在特定路徑上行進的元件，而平面波導則是利用 PCB 上的銅箔來模擬這個這種結構：利用訊號下方和兩側的導體接地將訊號線框起來。
微帶線則是沒有兩側接地護衛的平面波導，它是 PCB 上最簡單的傳輸線實作方式。
既然傳輸線的特性阻抗是由截面決定的，那我們要怎麼決定這些 PCB 傳輸線的特性阻抗呢？我們就以最常用的 microstrip 為例，來看看它的數學模型。
要控制微帶線的特性阻抗，我們需要控制幾個參數：w 是訊號線的寬度；h 是訊號線到下方接地層表面的距離，通常是 PCB 基材的厚度；T 是訊號線的厚度，通常是訊號線銅箔的厚度，還有個最關鍵的參數是基材的介電常數 e。
（圖片來源：Bird 提供）
微帶線的特性阻抗有很多數學模型的推導，但目前最常被引用的是 Erik O. Hammerstad 在 1975 年於 IEEE 的 European Microwave Conference 發表的模型：
（圖片來源：Bird 提供）
上式中的 Z0 是自由空間阻抗，也就是電滋波在真空中傳遞時的特性阻抗，大約是 371 ohm，而 𝞮eff 則是等效的介電常數。爲什麼是「等效」呢？因爲在 mircostrip 上，訊號導體的兩面是處在不同的介電質上，一面是空氣、另一面是 PCB 的基材，因此我們需要計算出這兩者合併之後的等效介電常數，這裡又有另一個看起來跟上面的公式一樣恐怖的數學式子：
（圖片來源：Bird 提供）
好啦，我沒有要在這裡推導這兩個公式，實務上有一個簡化過、將常數項合併的公式是比較常用的，長這樣：
（圖片來源：Bird 提供）
這個公式看起來就比較平易近人了，而且這裡的介電常數 𝞮 指的就是電路板基材的介電常數，不用另外考慮空氣造成的影響。這個公式對 W/H 的比例有一些限制，不過在大部分的 PCB 設計下，一定都滿足這兩個條件。
從這個經過簡化的公式裡，我們比較容易看出各項參數與特性阻抗之間的關係。比方說電路板的厚度 H 這一項在分母，而 ln 自然對數又是個正相關函數，因此我們可以知道在其它項都不變的前提下，電路板越厚，做出來的 microstrip 傳輸線阻抗就越大；訊號線路的寬度 W 這一項在分子，因此我們可以知道在其它項都不變的前提下，訊號線路越寬，做出來的 microstrip 傳輸線阻抗就越小。
而介電常數 𝞮 在分子項，因此在其它項都不變的前提下，PCB 基材的介電常數越大，做出來的 microstrip 傳輸線阻抗就越小。
現在有很多數學工具甚至線上工具都可以很輕易地幫我們計算 PCB 上的傳輸線阻抗。隨便搜尋「microstrip impedance calculator」就可以找到一大堆工具，只要輸入 W、H、T、𝞮，就可以幫我們計算出特性阻抗，不需要我們自己按計算機或是拉 Excel 來算。
但是當你算出來的特性阻抗不如預期時，該怎麼調整呢？最簡單的方法當然是改變訊號導體的寬度，寬度加大，阻抗就變小；寬度減小，阻抗就變大。
但是如果寬度已經大到不合理、或是不切實際的時候，該怎麼調整呢？這就只能改變 h 或 t，也就是板材的厚度或銅箔的厚度。板材的厚度並非連續可變，PCB 的基材厚度通常有固定的規格如 0.8 mm、1.2 mm、1.6 mm 等，而且實際上也會因爲機構上的限制，不一定讓你可以任意選擇，銅箔的厚度牽涉到每層電路的導電性以及電路板製程的限制，也不是任意變更的。
說了這麼多，其實每個條件都有它的難處，並不是你想要怎麼改變就一定可以怎麼改變的。所謂的「設計」，其實就是在一定的限制條件下求解，這個解可能不存在，也可能有很多組，要如何在理想的 cost 下找到最佳、最適合的解，就是設計的目的。
小結 #
這一回我們討論了 PCB 上的傳輸線設計以及它的數學模型。下一回我們要用實際的例子來看看 PCB 上的傳輸線要怎麼設計，以及設計的過程要如何迭代。
（責任編輯：賴佩萱）
