作者：Bird
上一篇文章【Maker電子學】淺談高頻系統的原理與設計 — PART5，我們解釋了交流電路中，能量在電阻或電容上來回流動的概念，並正式介紹了「阻抗」的定義，以及用來計算阻抗的數學符號系統。
這一回我們要來看一些實際的電路，並試著運用這些數學工具來分析。
現實世界中沒有純電路 #
上一回我們介紹了純電阻、純電容、純電感的阻抗在複數座標系上的樣子。純電阻的阻抗只有實部，沒有 j 項，因此畫出來的阻抗就是在 X 軸上向右延伸。
（圖片來源：Bird 提供）
而在電感或是純電容的電路中，阻抗只有虛數項 j 項，沒有實部，因此畫出來的阻抗就是在 Y 軸方向。向上爲正的電抗，也就是電感性的電抗；向下爲負的電抗，也就是電容性的電抗。
（圖片來源：Bird 提供）
不純砍頭的蜂蜜也許有純的，但現實世界中的電路沒有純的這種事。你拿起一個電感接到電路中，除非繞成電感的線圈是用超導材料做的，否則電感多多少少都會有些電阻，即使很小。
因此，現實世界中的電感應該是這個樣子的：
（圖片來源：Bird 提供）
而它的阻抗就會是這樣：
（圖片來源：Bird 提供）
我們來看看有實際零件數值的電路要怎麼計算。假設電路中的電感是 1 mH、電阻是 10 ohm，交流電源仍然是 10 Vpp、100 Hz。
（圖片來源：Bird 提供）
這裡要特別強調一下，電阻的單位是歐姆（ohm）、電感的單位是亨利（Henry）、 電容的單位是法拉（Farad），但在實際的電路中，我們常用到的電感數值範圍可能是千分之一甚至百萬分之一亨利，因此會用 mH（千分之一亨利）或是百萬分之一亨利（uH）這樣的單位表示。
電容數值也是類似的狀況，我們很常用 pF（10 的負 12 次方法拉）或是 uF（10 的負 6 次方法拉），絕少直接用到 F 這麼大的單位。
這個電路中，電感和電阻加起來的阻抗就是：
Z = X + R = j 2𝝅fL + R = 6.28 * 100 * 1 * 0.001 + 10 = 0.628j + 10（ohm）
我們把這個結果畫到複數座標系上，看起來就是這個樣子：
（圖片來源：Bird 提供）
在真實世界中，由於幾乎不可能有純電感或純電容的理想電路存在，大部分的情況下我們要分析的都是這樣複數阻抗。
不純的相位差 #
我們這幾次在探討的主題都是「電容或電感性負載會讓交流電路中的電壓和電流產生相位差」。在上面這個電路中，電壓和電流之間的關係是什麼呢？
我們先來看相位差。
根據之前討論的，純電阻性負載在交流電路中不會造成電壓和電流的相位差，因此電壓和電流之間的相位差就是 0。畫在複數座標系上，就是在實數的那條線上。
純電感性負載會造成電壓超前電流四分之一個弦波週期，用角度來算的話，一個週期是 360 度，四分之一週期就是 90 度，畫在複數座標系上，就是一條與實數軸呈 90 度夾角的線，也就是虛數軸。
聰明的讀者可能已經想到，上圖中「阻抗」那個箭頭與實數軸的夾角，是否就是這個電路中電壓超前電流的相位角呢？
沒錯，就是這樣。這也是爲什麼我們要用這樣的數學符號以及複數座標系來分析交流電路的原因。我們可以用很簡單的幾何來求出電路運作的特性。
（圖片來源：Bird 提供）
要求圖中的標示「相位差」的那個角度 𝜭，可以用簡單的三角函數來計算。我們知道這個角的鄰邊長度（電路中的電阻）、對邊的長度（電路中的感抗），就可以用正切函數 tangent 的反函數 arctan() 來求這個角度：
𝜭 = arctan（X / R）= arctan（0.628 / 10）= 0.0627（rad）= 3.59（度）
如果我們將這樣的相位差畫在圖上，看起來就像是這樣（先別管振幅的單位）：
（圖片來源：Bird 提供）
圖中藍色是電壓波形、橘色是電流波形。在這個電路中，電壓超前電流 3.59 度。3.59 度是一個相對來說蠻小的角度，因此可以看到電壓和電流波形幾乎重疊在一起，只有一個很小的相位差。
我們之前用過簡化版的容抗、感抗公式來計算交流電路中電流的峰值。現在我們要來看看在實際的電路中要怎麼計算。
在複數平面上畫出來的那個「阻抗」的箭頭，它與水平軸的夾角代表了電壓與電流的相位差，而它的長度其實就代表了這整個阻抗的「大小」，英文用 magnitude 這個字，符號常用 Z。什麼是大小呢？它就像電阻一樣，在同樣的電壓之下，阻抗越大，電流就越小；阻抗越小，電流就越大。
（圖片來源：Bird 提供）
這個箭頭的長度就是三角形的斜邊，我們可以很容易用已知的兩個邊長（電阻大小與感抗大小）來求 SQRT（就是開根號的函數）：
Zmagnitude = SQRT（R2 + X2）= SQRT（10*10 + 0.628 * 0.628）= 10.0196
複數阻抗同樣遵循歐姆定律 V = IR，因此拿峰值電壓除以這個阻抗的大小，就可以得到電流的峰值大小。
I = V/R = 10 / 10.0196 = 0.998（A）
如果把電流和電壓畫在同一個圖上，看起來就是這樣：
（圖片來源：Bird 提供）
從剛剛的計算過程我們可以發現，由於電抗的部分只有 0.628j ohm，相對於電阻的 10 ohm 來說很小，這是因為不管是在計算相位差還是在計算阻抗的大小時，電抗部分的貢獻都很有限，整個電路的特性仍然是由電阻在主導。
不過電抗的公式中有一項 f，表示電抗的大小會受到訊號頻率的影響，但電阻不會，電阻就是電阻，它在 1 Hz 時是 1 ohm 的話，到了 1 KHz 時還是 1 ohm，這個現象會給交流電路帶來很多複雜且有趣的特性…
小結 #
這一回我們利用實際的電路，示範了如何用阻抗的複數座標系統來計算阻抗的角度所造成的電壓電流相位差，以及阻抗的大小所決定的峰值電流。
下一回，我們要將「頻率」這個因素考慮進去，繼續探討複數阻抗在交流電路中的許多有趣特性。
（責任編輯；賴佩萱）
