【Maker 電子學】GPS 接收器的原理與應用 — PART3

Posted By Liang Bird on 3 月 22, 2022 in GPS, Maker電子學, 教學文 | 0 comments

上一回【Maker 電子學】GPS 接收器的原理與應用—PART2，我們解釋了 GPS 用的「展頻通訊」技術是怎麼一回事，並說明爲什麼所有的 GPS 衛星都可以用同一個頻率、同一個頻道傳送訊號，而地面的接收機又是怎麼把訊號解出來的，我們還說明了展頻通訊用的核心：虛擬隨機碼（PRN）具有的數學特性。

這一次我們要來看看 GPS 如何利用 PRN 的這些特性，達成定位的功能。

相關、相關

上次解釋了 GPS 用的 PRN 具有兩個數學性質：

每一個衛星的 PRN 與其它衛星的隨機碼逐一相乘再相加後，結果都接近 0，只有跟自己逐一相乘再相加後結果才不會是 0，這個特性稱為「低度互相關」，在線性代數上還有另外一個詞形容這個特性，叫做「正交」（orthogonal）。

每一個衛星的 PRN 只有跟自己完美對齊時，逐一相乘再相加後，結果才不會是 0，如果跟同一個 PRN，但是在時間上錯開，逐一相乘再相加後，結果都接近 0，這個特性叫「除了零延遲外低度自相關」。

「相關」這個詞在這裡的英文是「correlation」。我們之前一直在講的「逐一相乘再相加」這個解碼的動作，其實就是在確定兩個訊號之間的相關性，因此這個動作在數學上也叫做 correlation，而在接收器中用來執行這個動作的電路就稱爲 correlator。自己和別的 PRN 做 correlation 稱作「cross-correlation」；自己和自己做 correlation 稱作「auto-correlation」。

Correlation 這個計算很容易和微積分上的另一個函數計算「卷積」（convolution）搞混。兩者的計算方式很類似，都是將兩個函數或是訊號逐點相乘後再相加，但 correlation 是讓兩個函數從同一個方向開始逐點相乘後再相加，而 convolution 則是兩個函數一頭一尾逐點相乘後再相加，方向相反。

雖然兩者有很多類似的特性，但在通訊上我們比較常用 correlation 而不用 convolution，主要是因爲要計算 convolution 的話需要等到兩個訊號都到齊了，才能開始計算；而計算 correlation 則可以打帶跑：訊號一邊進來，不用等它全部收完，就可以開始一邊做 correlation、一邊等剩下的訊號進來。

第一個特性「與其它 PRN 的低度互相關」使 GPS 可以讓所有的衛星用同一個頻率 1575.42 MHz 向地面傳送訊號，地面的接收機也只需要接收一個頻率的訊號，就可以同時解出許多顆衛星的訊號。

第二個特性，跟 GPS 的定位原理有關。我們先來看看 GPS 是怎麼定位的。

定位原理

GPS 所使用的定位原理是「測距定位」。假設在一個平面上有一個點的位置是已知的，而我們知道我們與這個點的距離，那我們一定在以這個點爲圓心、距離爲半徑所畫出來的一個圓上。

（圖片來源：Bird 提供）

如果這時有第二個已知點，我們也知道與這個已知點的距離，這時我們所在的位置，範圍就縮小到這兩個圓相交的兩個點上了。