【實作實驗室】FFT 頻域測量—示波器瞬間變頻譜

Posted By StrongPiLab on 5 月 24, 2019 in 實作派StrongPiLab, 教學文 | 0 comments

示波器看波形，頻譜分析儀看頻率成分，這兩種儀器看似井水不犯河水，但是自從工程數學界發明了「傅立葉轉換」後，隨著 CPU 速度越來越快，現在的示波器幾乎都能做到將時域（Time Domain）的波形轉換為頻域（Frequency Domain）的頻譜圖，要達成這個功能便是要靠「快速傅立葉轉換」（Fast Fourier Transform，FFT）。

在我們進入解說以前，讓我們先來看看「快速傅立葉轉換」到底是怎麼操作的！

https://www.youtube.com/watch?v=brjsQ9cQ2DU

快速運算的 FFT

這邊沒有打算說明 FFT 的細節，想了解細節的人可以去翻翻工程數學，我沒記錯的話，光是 Fourier Series 與 Fourier Transform 就佔了一整個章節，FFT 只是實現如何快速把答案算出來而已。

這邊我想要聊的是， FFT 到底可以算多快呢？若波形由 N 個點組成，以傳統的 Fourier Transform 計算，會需要N*N 次的計算；若以 FFT 運算，運算量會縮減到 N*logN 次的運算。

那這樣可以節省多少次運算呢？我們代入實際數字，大家可能會比較有感覺，假設示波器的波形是由 N=10,000 個點所組成。

• Fourier Transform 的計算次數：N*N=100,000,000（一億次計算）
• FFT 的計算次數：N*logN=10000*4=40000 （四萬次計算），共縮減了 2500 倍

這個縮減倍數會隨 N 的增加而增加，換句話說， FFT 真的是一個非常有效的運算方式。雖然 FFT 很強，但沒有 Fourier Transform，也就不會有 FFT 。我想傅立葉這位老兄，在當年提出「無論連續或非連續的函數，都能展開為正弦函數的級數」的說法，應該是一項大膽的創舉，因為一般人應該很難聯想到，不連續的函數也能用連續的弦波來表示。

為何訊號都擠在頻譜左邊？

如下圖所示，通常只要打開 FFT，你會發現你想觀察的訊號都擠在頻譜的左邊，即便在 FFT 內可以使用 Horizontal 旋鈕盡量將訊號挪到中間，但到最後常常是已經轉到了盡頭，頻譜訊號卻仍然偏左。

示波器的 FFT 畫面（圖片來源：實作派提供）

解決訊號偏左顯示的方式是增加螢幕中的訊號 cycle 數，如此就能把 FFT 頻譜內的訊號間隔變得開一些，為什麼呢？因為示波器的記憶體容量是固定的，因此無論 cycle 多寡，取樣點數都是固定的。如下圖的 CASE A，若螢幕塞了較多的 cycle，每個 cycle 分配的取樣點較少，也就是每個取樣點之間的時間 T 比較長，取樣頻率（1/T）就會變低，反之亦然。