作者：實作派 Lab
示波器看波形，頻譜分析儀看頻率成分，這兩種儀器看似井水不犯河水，但是自從工程數學界發明了「傅立葉轉換」後，隨著 CPU 速度越來越快，現在的示波器幾乎都能做到將時域（Time Domain）的波形轉換為頻域（Frequency Domain）的頻譜圖，要達成這個功能便是要靠「快速傅立葉轉換」（Fast Fourier Transform，FFT）。
在我們進入解說以前，讓我們先來看看「快速傅立葉轉換」到底是怎麼操作的！
快速運算的 FFT
這邊沒有打算說明 FFT 的細節，想了解細節的人可以去翻翻工程數學，我沒記錯的話，光是 Fourier Series 與 Fourier Transform 就佔了一整個章節，FFT 只是實現如何快速把答案算出來而已。
這邊我想要聊的是， FFT 到底可以算多快呢？若波形由 N 個點組成，以傳統的 Fourier Transform 計算，會需要N*N 次的計算；若以 FFT 運算，運算量會縮減到 N*logN 次的運算。
那這樣可以節省多少次運算呢？我們代入實際數字，大家可能會比較有感覺，假設示波器的波形是由 N=10,000 個點所組成。
- Fourier Transform 的計算次數：N*N=100,000,000（一億次計算）
- FFT 的計算次數：N*logN=10000*4=40000 （四萬次計算），共縮減了 2500 倍
這個縮減倍數會隨 N 的增加而增加，換句話說， FFT 真的是一個非常有效的運算方式。雖然 FFT 很強，但沒有 Fourier Transform，也就不會有 FFT 。我想傅立葉這位老兄，在當年提出「無論連續或非連續的函數，都能展開為正弦函數的級數」的說法，應該是一項大膽的創舉，因為一般人應該很難聯想到，不連續的函數也能用連續的弦波來表示。
為何訊號都擠在頻譜左邊？
如下圖所示，通常只要打開 FFT，你會發現你想觀察的訊號都擠在頻譜的左邊，即便在 FFT 內可以使用 Horizontal 旋鈕盡量將訊號挪到中間，但到最後常常是已經轉到了盡頭，頻譜訊號卻仍然偏左。
示波器的 FFT 畫面（圖片來源：實作派提供）
解決訊號偏左顯示的方式是增加螢幕中的訊號 cycle 數，如此就能把 FFT 頻譜內的訊號間隔變得開一些，為什麼呢？因為示波器的記憶體容量是固定的，因此無論 cycle 多寡，取樣點數都是固定的。如下圖的 CASE A，若螢幕塞了較多的 cycle，每個 cycle 分配的取樣點較少，也就是每個取樣點之間的時間 T 比較長，取樣頻率（1/T）就會變低，反之亦然。
波形的 cycle 數量會影響 FFT 頻域的 span 頻寬（圖片來源：實作派提供）
這邊我直接將上圖的兩個 CASE 以實例來比較，你會發現週期多的 CASE A 取樣頻率較低，而週期少的 CASE B 取樣頻率較高。若取樣頻率高，頻譜就會展開（Span）得比較寬，相對的我們的待測訊號頻率看起來就會靠到左邊去，這就是 CASE B 發生的狀況。
因此，要讓 FFT 的低頻頻譜往中間靠一些的話，你可以增加週期數試試，就可以看到 CASE A 的情況。
不同 cycle 數量對頻域的影響（圖片來源：實作派提供）
為何以 dB 作為單位？
這邊簡述一下，為何看頻譜時大家都習慣以 dB 作為單位呢？
因為在工程領域，我們很常比大小，而比大小時，我們會用倍數來敘述，10 倍、100 倍、1000 倍之類的，但是若將 10 倍與 1000 倍的波形同時放在一個螢幕裡，通常你只會看到 1000 倍的波形，而看不到那個 10 倍的訊號，因為它的振福僅是人家的百分之一，可能連螢幕的 1 點都不到。
所以聰明的工程師就發現，不如將倍數轉化成某個簡單的數字，如此就能盡量呈現各種高低級距的細節，其中，能夠滿足這個功能的函數就是「對數 log」，所以工程界才會發展出 dB 這種定義，如下：
dB=10*log（A/B）， A= 功率 A、B=功率 B
如此一來，放大 100 倍稱為 20 dB，放大 1 萬倍就稱為 40 dB，我想大家應該都同意 20 與 40 這種簡單的數字比後面帶很多零的倍數好理解，而且顯示在螢幕上也比較方便。
事實上，dB 不只在工程界作為常用單位，就連人類的聽覺也是如此，當你的耳朵覺得聲音每次都變大一個級距時，聲音實際上已經放大好幾倍了，這也是就是什麼音響擴大機都以 dB 標示音量的原因。
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