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title: 淺談高頻系統的原理與設計—PART4：阻抗(中)
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updated: "2025-04-28"
category: 高頻系統
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# 淺談高頻系統的原理與設計—PART4：阻抗(中)

**作者：Bird**

[上一篇文章](https://makerpro.cc/2022/07/high-frequency-system-principles-and-design-part3/)我們介紹了「阻抗」在直流電系統中的定義，也談了「電阻」以及它在直流電路中的效應。

在交流甚至高頻的系統，阻抗不只是電阻，它還有電容與電感的特性，因此在交流系統中的阻抗要用數學中的複數系統來標示。同樣的，交流系統中的電壓與電流在電容與電感存在時，也會產生相位上的差異，因此交流系統中的電壓與電流也需要用複數系統來表示與計算。

這一回我們要來探討一下「阻抗」在交流系統中的作用。

#### **先從簡單的開始**

我們先從電阻開始，看一個簡單的電路。

上一回我們用的 power source 是一個直流電壓源，這一次我們要使用交流電源。假設有一個峰值電壓 10 V、頻率 100 Hz 的交流電源，我們將它接上一個 1 ohm 的電阻當作負載。這個電路就會長這樣：

 ![](https://makerpro.cc/wp-content/uploads/2022/08/1-3.png)

（圖片來源：Bird 提供）

所謂的「100 Hz」交流電源，指的一定是 100 Hz 的正弦波，而不是方波、三角波、階梯波或是任何其它的波形。傅立葉分析告訴我們，任何形狀的週期波都可以用不同頻率的正弦波疊加而成，因此當我們在探討單一頻率的波形時，講的一定是正弦波。

這個交流電壓源的電壓波形就會長這樣：

 ![](https://makerpro.cc/wp-content/uploads/2022/08/2-5.png)

（圖片來源：Bird 提供）

那麼電流呢？我們上一次討論過，如果電源是個電壓源，要流出多少電流是由負載的電阻大小決定的，而對於一個會變動的電壓源來說，即使它輸出的電壓在變動，它也時時刻刻遵守這個定律，也就是我們熟知的歐姆定律：V = IR。

當電壓爲 0 時，我們將電壓（0 V）和負載（1 ohm）帶入上式，就會知道電流也是 0；當電壓上升到 5 V 時，我們將電壓（5 V）和負載（1 ohm）帶入上式，可以得知電流是 5 A；當電壓上升到頂點 10 V 時，我們將電壓（10 V）和負載（1 ohm） 帶入上式，就可以得知電流是 10 A。

然後有趣的事來了。由於這個電源是交流電，它的電壓在整個週期中有一半的時間會低於 0，因此當我們把小於 0 的電壓帶入上面的式子計算時，電流也會小於 0；當電壓是 -5 V 時，電流是 -5 A；當電壓是 -10 V 時，電流是 -10 A。

電流的符號代表它流動的方向，如果我們定義電流由上往下流動是正的，那麼當電壓變爲負的時候，電流就會由下往上流動。

 ![](https://makerpro.cc/wp-content/uploads/2022/08/3-5.png)

（圖片來源：Bird 提供）

如果我們把電流波形畫出來，就會是看起來就會是這樣：

 ![](https://makerpro.cc/wp-content/uploads/2022/08/4-3.png)

（圖片來源：Bird 提供）

如果我們把電壓波形和電流波形的時間軸對齊畫在一起，看起來就會是這樣：

 ![](https://makerpro.cc/wp-content/uploads/2022/08/5-3.png)

（圖片來源：Bird 提供）

電流波形會隨著電壓的變化從 0 開始上升到最高點，再下降回到 0，然後變成負的，再到最低點，最後回到 0，如此周而復始。

由於電流波形很精確地隨著電壓波形變化，同時出發、同時達到最高點、同時達到最低點，因此我們說在這個電路中，電壓波形與電流波形的相位相同。

### **電容器負載**

如果我們將上面電路中的負載電阻換成一個 1 uF 的電容器，會發生什麼事呢？這時電路會變成這樣：

 ![](https://makerpro.cc/wp-content/uploads/2022/08/6-2.png)

（圖片來源：Bird 提供）

再次強調，由於電源是個電壓源，電壓波形由它自己決定，而電流波形則由負載決定，也就是說，電壓是因，電流是果。

如果我們測量這個電路的電流波形，它會是這樣：

 ![](https://makerpro.cc/wp-content/uploads/2022/08/7-1.png)

（圖片來源：Bird 提供）

看起來仍然是個正弦波，沒什麼特別的，除了垂直刻度稍微怪了一點，但如果我們同時將電壓波形和電流波形畫在同一個時間軸上的話，就會是這樣：

 ![](https://makerpro.cc/wp-content/uploads/2022/08/8-1.png)

（圖片來源：Bird 提供）

原來在交流電路中，電容器上的的電流和電壓會有時間差。從這個圖中看起來，電容器上的電流會比電壓先上升到最大值，因此我們說電容器上的電流相位「超前」電壓，或是電壓相位「落後」電流。

至於超前或落後多少，其實可以很容易從圖中看出來，剛好就是四分之一個正弦波的週期。如果用角度來計算，一個週期是 360 度，四分之一個週期就是 90 度。因此我們可以這樣說：在交流電路中，電流相位超前電壓相位 90 度。

相位差知道之後，我們再來看振幅。眼尖的讀者可能已經看到，我雖然把電壓和電流畫得一樣高，但其實它們的座標軸不一樣。電壓的頂點依舊是 10 V，但電流的頂點只有 0.00628 A。這個 0.00628 A 是怎麼來的呢？

電容有個公式叫做它的容抗，我們在以前的文章中偶爾會用到它：X~C = 1 / 2𝝅fC。

這個公式算出來的答案，單位是歐姆。換句話說，電容器在這個交流電路中，也像個電阻一樣，可以決定特定的電壓流過多少電流，只不過電流的相位會跟電壓差 90 度。

而有趣的是，這個公式中有一項 f 代表頻率，也就是說電容器所表現出來的容抗，會與加在它上面的交流電頻率有關。由於頻率項在分母，因此 f 越大，算出來的容抗就越小。電容量這一項本身也在分母，因此電容器越大，在特定頻率的容抗也會越小。

由於 f 項在分母，如果頻率等於 0，不管電容多大多小，算出來的容抗都是無限大。頻率等於 0 的訊號就是直流電，因此對直流電來說，電容器的容抗是無限大的，也就是說直流訊號是過不了電容器的。

以上面那個電路來說，頻率是 100 Hz，電容是 1uF（1 乘以 10 的負 6 次方 F），我們就可以算出電路中的容抗是：X~C = 1 / 2 * 3.14 * 100 * 0.000001 = 1 / 0.000628 = 1592（ohm）。

換句話說，撇開相位的差異不談，電容器在這個電路中的等效電阻是 1592 ohm。以頂點的電壓 10V 來計算，套用歐姆定律 V = IR，我們可以算出頂點的電流是：10（V）/ 1592（ohm）= 0.00628（A）。

現在我們知道這個 0.00628 A 是怎麼來的了。

### **電感負載**

如果我們將上面電路中的負載電阻換成一個 1 mH 的電感，會發生什麼事呢？這時電路會變成這樣：

 ![](https://makerpro.cc/wp-content/uploads/2022/08/9-1.png)

（圖片來源：Bird 提供）

聰明的讀者可能已經猜到，電感也會在交流電路中造成電壓與電流的相位差。而且由於物理學上有許多美妙的對稱性，電感在交流電路中的電壓與電流波形會是這樣：

 ![](https://makerpro.cc/wp-content/uploads/2022/08/10-1.png)

（圖片來源：Bird 提供）

可以看到，隨著時間的流逝，電感上的電壓先上升到頂點，電流隨即才跟著上升到頂點。電感上的電流波形總是比電壓波形慢一點，大約慢四分之一個弦波週期，90 度。至於電感上的電流大小，和電容器一樣，也有一個叫做「感抗」的特性可以計算。感抗的公式：X~L = 2𝝅fL。

這次沒有人在分母了。從公式可以看出來，頻率越高，感抗越大；電感越大，感抗也越大。我們一樣來算算看這個電路中電感的感抗：X~L  = 2 * 3.14 * 100 * 0.001 = 0.628（ohm），再套用歐姆定律，我們就可以算出電感上的最大電流：10（V） / 0.628（ohm）= 159（A）。

嗯，當然前提是這個 10 V、100 Hz 的交流電源要能吐得出 159 A 這麼大的電流啦...

### **小結**

這一回，我們說明了在交流電路中，電容和電感的電壓波形與電流波形，並說明了「容抗」與「感抗」的公式。由於電容電感在交流電路中都會造成電壓與電流的相位差，因此最大的電壓與最大的電流並非同時發生，但我們仍然可以套用歐姆定律來計算最大的電流。

事實上我們今天用來計算容抗與感抗的公式仍然稍微簡化了一點。下一回我們要繼續探討容抗與感抗的觀念，並將電流與電壓的相位差也納入計算公式中。

（責任編輯：賴佩萱）